Toma un segmento de longitud 1 m. Divídelo en tres partes
iguales, cada una de las cuales tiene una longitud de 1/3 cm. Dibuja un triángulo equilátero en la parte media, borra la parte media. Se tienen 4
segmentos de longitud 1/3 cm.
La longitud total de la curva es 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = 4·1/3
= 4/3.
Divide los 4 segmentos resultantes en tres partes, cada una
de ellas tiene una longitud de 1/9 cm. Dibuja triángulos equiláteros en cada
una de ellas y borra después las partes medias. Se tienen 16 segmentos de
longitud 1/9 cm.
La longitud total de la curva es ahora 16 · 1/9 = 16/9 =
(4/3)2
Repitiendo el proceso una vez más se obtienen 64 segmentos
de longitud 1/27 cm. La longitud total es de 64 · 1/27 = 64/27 = (4/3)3
Se induce (no se deduce) que repitiendo el proceso n veces
se obtienen 4n segmentos de longitud 1/3n cm cada uno. La
longitud total es de (4/3)n.
¿Qué ocurre si repetimos el proceso infinitas veces? ¿Cuál
será la longitud total de la curva? Esta se obtiene calculando el límite de la
sucesión (4/3)n. Cómo 4/3 es mayor que 1, el límite es infinito:
lim (4/3)n
= ∞
Por lo tanto la longitud de la curva es infinita.
Toma ahora un triángulo
equilátero de área A. Divide cada uno de sus lados en tres partes y elimina la
parte media. Se forman tres triángulos. El área de cada triángulo formado es 9
veces menor que la del triángulo inicial, es decir, A/9. El área
de la nueva figura es la suma del área del triángulo inicial A y las 3 áreas de
los triángulos menores,
A + 3· A/9 = A + A/3 = 4A/3
Divide ahora los 12 segmentos en tres partes y elimina las
partes medias. Se forman 12 “triangulitos”. El área de los triángulos formados es
9 veces menor que los triángulos anteriores, por tanto, A/81. El área total de
la nueva figura es
A + A/3 + 12 · A/81 =
A + A/3 + 4A/27 =
A + A/3 + (4/9)· A/3 =
A + A/3·[1 +4/9]
Si repetimos el proceso una vez más, se obtienen 64
triángulos con área A/729. El área total es
A + A/3 + (4/9)· A/3
+ 64· A/729 =
A + A/3 + (4/9)· A/3 + (4/9)2· A/3 =
A + A/3·[1 +4/9 + (4/9)2]
Si repetimos el proceso n veces se puede inducir que el área
es
A + A/3·[1 + 4/9 + (4/9)2
+ … +(4/9)n-1 ]
¿Se puede simplificar esta suma? ¿Te recuerda a algo? Sí!, la
expresión que está en el corchete es la suma de los n primeros términos de la
sucesión geométrica an = (4/3)n.
¿Y si repitiéramos el proceso infinitas veces? ¿Cuál sería
el área de la figura obtenida? ¿Es infinita? El área es el límite de la
expresión anterior
lim {A + A/3·[1 + 4/9 + (4/9)2 + … +(4/9)n-1
]} =
A + A/3· lim[1 + 4/9 + (4/9)2 + … +(4/9)n-1
] =
A + A/3· [1 + 4/9 + (4/9)2 + … +(4/9) ∞]
Ahora tenemos la suma de los infinitos términos de la
progresión geométrica (4/3)n. Recuerda que la suma de los
infinitos términos de una progresión geométrica an de razón inferior
a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
S∞ = a1 /(1 – r)
En nuestro caso
[1 + 4/9 + (4/9)2 + … +(4/9) ∞] =
1/(1 - 4/9) = 1/(5/9) = 9/5
Por tanto, el área de la figura tras infinitas repeticiones
es
A + (A/3)·(9/5) = A + 9A/15 = A + 3A/5 = 8A/5
Es decir, el área de la figura obtenida es tras infinitas
repeticiones no es infinita, sino 8/5 partes el área del triángulo inicial.
Hemos obtenido una figura cuyo perímetro es infinito pero su
área es finita.
Esta figura es conocida como el copo de nieve, la estrella o la isla de Koch, también fue descrita por el
matemático sueco Helge von Koch 1904. Fue uno de los primeros ejemplos de
figuras llamadas fractales, cuya propiedad es que su estructura se repite a
diferentes escalas, como puedes comprobar en el siguiente video:
Otra propiedad sorprendente de los fractales es que su dimensión no es un número entero, sino una fracción. Pero el hecho más sorprendente es que los fractales aparecen en la Naturaleza:
Otra propiedad sorprendente de los fractales es que su dimensión no es un número entero, sino una fracción. Pero el hecho más sorprendente es que los fractales aparecen en la Naturaleza:
Incluso existe un tipo de música basada en los fractales:
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